Алгоритм COS

Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Алгоритм COS

02 июня 2011

Оглавление:
1. Алгоритм COS
2. Оценка сложности

Алгоритм COS — субэкспоненциальный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Был предложен в 1986 году.

Исходные данные

Пусть задано сравнение

$a^x\equiv b\pmod{p},$

)

Необходимо найти натуральное число x, удовлетворяющее сравнению.

Описание алгоритма

1 этап. Пусть

$H:=+1,\ J:=H^2-p>0,\ L=e^{\sqrt{\log{p}\log{\log{p}}}},\ 0<\epsilon<1.$

Сформируем множество

$\{q\mid q<L^{1/2}\}\cup\{H+c|0<c<L^{1/2+\epsilon}\},$

где q — простые.

2 этап. С помощью некоторого просеивания ищем пары $c_1,\ c_2$ — такие, что 0 < c_i < L, и

$\equiv\prod\limits_{q\leq L^{1/2}}q^{\alpha_q}\pmod{p}$

. При этом так как J = O, то

$\equiv J+H+c_1c_2\pmod{p},$

причём это абсолютно наименьший вычет в этом классе и он имеет величину O. Поэтому вероятность его гладкости выше, чем для произвольных чисел, меньших p-1.

Логарифмируя по основанию a, получим соотношение

$\log_a{}+\log_a{}\equiv\sum\limits_{q\leq L^{1/2}}\alpha_q\log_aq\pmod{p-1}$

Мы можем также считать, что a является гладким, то есть

$a\equiv\prod\limits_{q\leq L^{1/2}}q^{\beta_q}\pmod{p},$

откуда

$1\equiv\sum\limits_{q\leq L^{1/2}}\beta_q\log_aq\pmod{p-1}$

3 этап. Набрав на 2-м этапе достаточно много уравнений, мы решим получившуюся систему линейных уравнений и найдём $\log_a{}, \ \log_aq$ .

4 этап. Для нахождения x введём новую границу гладкости L. Случайным перебором нахоим одно значение w, удовлетворяющее соотношению

$a^wb\equiv\prod{q\leq L^{1/2}}q^{\gamma_q}\prod\limits_{L^{1/2}\leq u<L^2}u^{h_u}\pmod{p}.$

u — простые числа «средней» величины.

5 этап. С помощью методов, анаогичных этапам 2 и 3, мы находим логарифмы простых чисел u, возникших на этапе 4.

6 этап. Находим ответ:

$x\equiv\log_ab\equiv-w+\sum{q\leq L^{1/2}}\gamma_q\log_aq + \sum\limits_{L^{1/2}\leq u<L^2}h_u\log_au\pmod{p-1}.$

<<< Акшара-санкхья

Алгоритм Диффи Хеллмана >>>

Компьютерное аппаратное обеспечение
Вычислительные комплексы
Компьютерные данные
Компьютерные журналы
Классы компьютеров
Компьютеры

Программное обеспечение
Производители компьютеров
Профессии в ИТ
Системное администрирование
Компьютерный сленг
Списки компьютерных терминов

Человеко-компьютерное взаимодействие