Бикубическая интерполяция - Бикубическая интерполяция сплайнами

Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Бикубическая интерполяция - Бикубическая интерполяция сплайнами

22 января 2011

Оглавление:
1. Бикубическая интерполяция
2. Бикубическая интерполяция сплайнами

Допустим, что необходимо интерполировать значение функции f в точке P, лежащей внутри квадрата $\times$ , и известно значение функции f в шестнадцати соседних точках $, i=-1\ldots2, j=-1\ldots2$ . Тогда общий вид функции, задающей интерполированную поверхность, может быть записан следующим образом: $p = \sum_{i=0}^3 \sum_{j=0}^3 a_{i j} x^i y^j.$

Для нахождения коэффициентов a_ij необходимо подставить в вышеприведенное уравнение значения функции в известных шестнадцати точках. Например:

$\begin{align} f &= a_{0 0} &- &a_{1 0} &+ &a_{2 0} &- &a_{3 0} \\ f &= a_{0 0} \\ f &= a_{0 0} &+ &a_{1 0} &+ &a_{2 0} &+ &a_{3 0} \\ f &= a_{0 0} &+ &2 a_{1 0} &+ &4 a_{2 0} &+ &8 a_{3 0} \\ \end{align}$ .

Полностью в матричном виде:

Mα = γ,

где

$\alpha=\left$ ,

$\gamma=\left$ ,

$M=\left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 2 & -2 & 4 & -4 & 4 & -4 & 8 & -8 & 8 & -8 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -1 & -2 & -4 & -8 & 1 & 2 & 4 & 8 & -1 & -2 & -4 & -8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 2 & 4 & 8 & 16 & 4 & 8 & 16 & 32 & 8 & 16 & 32 & 64 \end{smallmatrix}\right]$ .

Решая получившуюся систему линейных алгебраических уравнений, можно найти значения a_ij в явном виде:

$\alpha^T = \frac{1}{36}\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 36 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -12 & 0 & 0 & 0 & -18 & 0 & 0 & 0 & 36 & 0 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & -36 & 0 & 0 & 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 & 0 & 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & -18 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -12 & -18 & 36 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & -12 & 2 & 6 & 9 & -18 & 3 & -12 & -18 & 36 & -6 & 2 & 3 & -6 & 1 \\ -6 & -9 & 18 & -3 & 12 & 18 & -36 & 6 & -6 & -9 & 18 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -6 & 1 & -6 & -9 & 18 & -3 & 6 & 9 & -18 & 3 & -2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 18 & -36 & 18 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & 12 & -6 & 0 & -9 & 18 & -9 & 0 & 18 & -36 & 18 & 0 & -3 & 6 & -3 & 0 \\ 9 & -18 & 9 & 0 & -18 & 36 & -18 & 0 & 9 & -18 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & -3 & 0 & 9 & -18 & 9 & 0 & -9 & 18 & -9 & 0 & 3 & -6 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 & 18 & -18 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -6 & 6 & -2 & 3 & -9 & 9 & -3 & -6 & 18 & -18 & 6 & 1 & -3 & 3 & -1 \\ -3 & 9 & -9 & 3 & 6 & -18 & 18 & -6 & -3 & 9 & -9 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & -1 & -3 & 9 & -9 & 3 & 3 & -9 & 9 & -3 & -1 & 3 & -3 & 1 \\ \end{smallmatrix}\right] x^T$ .

Единожды найденные коэффициенты a_ij теперь могут быть использованы для многократного вычисления интерполированного значения функции в произвольных точках квадрата $\times$ .

Последовательная кубическая интерполяция

Другая интерпретация метода заключается в том, что для нахождения интерполированного значения можно сначала произвести кубическую интерполяцию в одном направлении, а затем в другом.

Для функции f с известными значениями f, f, f, f можно построить кубический сплайн: $p = \textstyle \sum_{i=0}^3 b_i x^i$ , или в матричном виде

$p = \left \left$ ,

где

$\left = A \left$ ,

$A = \frac{1}{6} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 6 & 0 & 0\\ -2 & -3 & 6 & -1\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Таким образом, для нахождения интерполированного значения p в квадрате $\times$ можно сначала рассчитать четыре значения p, p, p, p для зафиксированного x, затем через полученные четыре точки построить кубический сплайн, и этим завершить вычисление p :

$p = \left A \left( \left A \left[\begin{smallmatrix} & f & f & f & f \\ & f & f & f & f \\ & f & f & f & f \\ & f & f & f & f \\ \end{smallmatrix}\right] \right)^T =$

$= \left A \left[\begin{smallmatrix} f & f & f & f \\ f & f & f & f \\ f & f & f & f \\ f & f & f & f \end{smallmatrix}\right] A^T \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \end{smallmatrix}\right]$

<<< Алгоритмы масштабирования пиксельной графики

Вейвлет Койфлет >>>

Компьютерное аппаратное обеспечение
Вычислительные комплексы
Компьютерные данные
Компьютерные журналы
Классы компьютеров
Компьютеры

Программное обеспечение
Производители компьютеров
Профессии в ИТ
Системное администрирование
Компьютерный сленг
Списки компьютерных терминов

Человеко-компьютерное взаимодействие