Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления — смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8 и т.д.

Число	Запись в ФСС	Код Фибоначчи
0	0……0
F2=1	1	11
F3=2	10	011
F4=3	100	0011
4	101	1011
F5=5	1000	00011
6	1001	10011
7	1010	01011
F6=8	10000	000011
…
Fn-1	101010…	…0101011
Fn	10……00	00……011
Fn+1	10……01	10……011

Представление натуральных чисел

Любое неотрицательное целое число можно единственным образом представить через последовательность битов …ε_k…ε₄ε₃ε₂: , причём последовательность {ε_k} содержит лишь конечное число единиц, и не имеет пар соседних единиц: . За исключением последнего свойства, данное представление аналогично двоичной системе счисления.

Обоснование

В основе лежит теорема Цекендорфа — любое неотрицательное целое число представимо в виде суммы некоторого набора чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Причём представление такое единственно.

Доказательство существования легко провести по индукции. Любое целое число попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого верно неравенство: . Таким образом, a = F_n + a', где , так что разложение числа a' уже не будет содержать слагаемого F_{n − 1}.

Использование

Юпана

Юпана

Предполагают, что некоторые разновидности юпаны использовали фибоначчиеву систему счисления, чтобы минимизировать необходимое для вычислений число зёрен.

В теории информации

На основе фибоначчиевой системы счисления строится код Фибоначчи — универсальный код для натуральных чисел, использующий последовательности битов. Поскольку комбинация 11 запрещена в Фибоначчиевой системе счисления, её можно использовать как маркер конца записи. Для составления кода Фибоначчи по записи числа в фибоначчиевой системе счисления следует переписать цифры в обратном порядке и приписать в конце ещё раз 1. То есть, кодовая последовательность имеет вид:

ε₂ε₃…ε_n1,

где n — номер самого старшего разряда с единицей.

Арифметика

Сложение чисел в позиционных системах счисления выполняется с использованием переноса, позволяющего устранять последствия переполнения разряда. Например, в двоичной системе: 01 + 01 = 02 = 10.

В фибоначчиевой системе счисления дело обстоит сложнее:

• Во-первых, вес старших разрядов не является кратным весу разряда, из которого требуется перенос. При сложении двух единиц в одном разряде требуется перенос не только влево, но и вправо: 0200 = 1001. При переносе в отсутствующие разряды ε₁ и ε₀ следует помнить, что F₁=1=F₂ и F₀=0.
• Во-вторых, требуется избавляться от соседних единиц: 011 = 100. Правило для раскрытия двоек является следствием этого равенства: 0200 = 0100 + 0011 = 0111 = 1001.