Вейвлет Койфлет

Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Вейвлет Койфлет

22 января 2011

Оглавление:
1. Вейвлет Койфлет
2. Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты
3. Преимущества и пременение койфлетов

Вейвлет Койфлет порядка 1

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Основные положения теории вейвлет-функций

ортонормированный базис в L₂. С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в эксперементальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и ее временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки .

Построение систем вейвлет-функций

Определение скейлинг-функции

Пусть $\varphi$ представляет собой функцию из в L₂, такую что множество ее трансляций

$\{ {\varphi}_{0, \;k}\bigr|\varphi_{0, \;k}=\varphi \},$

образует ортогональный базис в L₂.

Введем ${\varphi}_{j, \;k}$ согласно:

${\varphi}_{j, \;k}=2^{j/2}\varphi j, k\in \Zeta.$

Пусть $\{ {\varphi}_{0, \;k}\}$ — ортонормированный базис пространства V₀. Тогда для любой функции $f\in\mbox{V}_\mathrm{0}$ :

$f=\sum_k C_k \varphi.$

Далее, пусть $\{ {\varphi}_{j, \;k}\}$ — ортонормированный базис пространства V_j , $j\in\Zeta$ . Тогда мы получаем последовательность пространств $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$ , таких что

$V_j\subset V_{j+1}$ .

Определение. Пусть ${\varphi}_{0, \;k}$ — ортонормированный базис в L₂, тогда разложение функции $f\in L_2$ по базисам пространств $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$ называется многомасштабным анализом в L₂.

Определение. Если $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в L₂, функция $\varphi$ порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции

Пусть последовательность пространств $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в L₂. Определим пространство W_j как дополнение пространства V_j до пространства V_{j + 1}, то есть $W_j=V_{j+1}\backslash V_j$ . Тогда

$V_j=V_0\oplus\bigoplus_{k=0}^{j}W_k$ ,

или же:

${L}_{2}=V_0\oplus\bigoplus_{j=0}^{\infty}W_j$ .

Построим материнскую вейвлет-функцию $\psi \in {L}_{2}$ ортогональную скейлинг-функции $\varphi$ . В результате получим набор функций $\{{\psi}_{j, \;k}\bigr|j,k \in \Zeta \}$ — базис в пространстве W_j.

Вейвлет-разложение

Таким образом, согласно и определению функций ${\psi}_{j, \;k}$ и ${\varphi}_{j, \;k})$ как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция $f\in L_2$ может быть разложена в сходящийся в L₂ ряд:

$f=\sum_k {\alpha}_k{\varphi}_{0,\;k}+\sum_j\sum_k {\beta}_{j,\;k}{\psi}_{k,\;j},$

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

${\alpha}_k=\int f{\varphi}_{0,\;k}^{\ast}dt,$

${\beta}_{j,\;k}=\int f{\psi}_{j,\;k}^{\ast}dt.$

Коэффициенты α_k дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты ${\beta}_{j,\;k}$ содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств W_j используемых для анализа.

Функция m₀

Утверждение. Пространства V_j являются вложенными $V_j\subset V_{j+1}$ , $j\in \Zeta$ при условии, что существует 2π — периодическая функция $m_0\in L_2$ такая, что

$\hat{\varphi}=m_0\left \hat{\varphi}\left$ ,

где $\hat{\varphi}$ -Фурье-образ функции $\varphi$ .

Лемма 0.Система функций $\{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \}$ является ортонормированной в L₂ тогда и только тогда, когда

$\sum_k \bigr|\hat{\varphi}{\bigr|}^{2}=1$ .

Лемма 1. Положим, что $\{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \}$ представляет собой ортонормированный базис в L₂ . Тогда для любой 2π -периодической функции, удовлетворяющей условию, имеет место равенство:

$\bigr| {m}_{0} {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}{\bigr|}^2=1$ .

Лемма 2.В том случае, если $\varphi$ представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как m₀ — 2π -периодическую функцию из L₂ , удовлетворяющую условию, обратное преобразование Фурье образа

$\hat{\psi}=m_{1}\left \hat{\varphi}\left$ ,

где

$m_1=m_{0}^{*}\exp$ — вейвлет-функция.

Таким образом, скейлинг-функция $\varphi$ и материнская вейвлет-функция ψ определяются 2π -периодической функцией $m_0\in L_2$ согласно,, обладающей определенными свойствами,, + должно выполняться условие

m₀ = 0.

<<< Бикубическая интерполяция

Вейвлет Хаара >>>

Компьютерное аппаратное обеспечение
Вычислительные комплексы
Компьютерные данные
Компьютерные журналы
Классы компьютеров
Компьютеры

Программное обеспечение
Производители компьютеров
Профессии в ИТ
Системное администрирование
Компьютерный сленг
Списки компьютерных терминов

Человеко-компьютерное взаимодействие